[笔记]线性代数

学习线性代数,同时做做笔记。


(参考用书 : 《线性代数》(第二版) 高等数学出版社)


消元法

Gauss-Jordan Elimination

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矩阵

概念

被称为$ m \times n $矩阵$ \mathbf{A}_{m \times n} = [a_{ij}]$。

特殊矩阵

对$ \mathbf{A}_{m \times n} $,

若$ m = n $则被称为$ n $阶方阵

所有元素为0则被称为零矩阵,记为$\mathbf{O}$。

令$k = min(m,n)$,则称$a_{11},a_{22},…,a_{kk}$构成$ \mathbf{A} $的(主)对角线

称元$a_{i,i + 1}$在$ \mathbf{A}$的上对角线上,$ a_{i,i - 1}$在$ \mathbf{A}$的下对角线上。

若非零元只出现在对角线及其右上方,即$a_{ij}=0 (i < j) $,则被称为上三角阵,记为$\mathbf{U} $或$ \mathbf{R} $。

同理可定义下三角阵,记为$ \mathbf{L} $。

同时为上三角阵和下三角阵的方阵被称为对角阵,记为$ {\mathbf{ D}} = diag(\delta_1,\delta_2,…,\delta_n)$,其中$ \delta_i = a_{i,i}$。

$ \delta = C (const)$时被称为标量阵,特别称$ \delta = 1$时的标量阵为单位阵,用$ \mathbf{I} $表示。必要时标明阶数,如$ \mathbf{I}_3 $。

基本运算

相等

设$\mathbf{A} $为$ m \times n$矩阵,$ \mathbf{B} $为$ s \times t$矩阵。则$m = n , s = t$且$ a_{ij} = b_{ij}$时$ \mathbf{A} = \mathbf{B}$。

数乘

设$ \mathbf{A} = [a_{ij}]$,则$\alpha \mathbf{A} = [\alpha a_{ij}]$。

加法

设$\mathbf{A}_{m \times n} = [a_{ij}] , \mathbf{B}_{m \times n} = [b_{ij}]$。

则$ \mathbf{A} + \mathbf{B} = [a_{ij} + b_{ij}]$。

转置

若有$ \mathbf{ A}_{m \times n} = [a_{ij}]$,则$ \mathbf{ A}^{T}_{n \times m} = [a_{ji}]$。

称满足$ \mathbf{ A} = \mathbf{A}^{T}$,即$ a_{ij} = a_{ji} $的矩阵为对称矩阵

称满足$ \mathbf{ A}^{T} = -\mathbf{ A}$的矩阵为反称矩阵

矩乘

非常重要的概念。

设矩阵$ \mathbf{ A}_{m \times n} = [a_{ij}] , \mathbf{ B}_{n \times s} = [b_{ij}]$,

则对$ \mathbf{ C}_{m \times s} = [c_{ij}] $,若所有$c_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} {a_{ik} b_{kj}}$,

有$ \mathbf{ C} = \mathbf{ A} \times \mathbf{ B}$。

注意到矩乘合法仅当$ \mathbf{ A}$的行数等于$ \mathbf{ B}$的列数。

且对$ m = n = s $即两矩阵皆为方阵的情况下$\mathbf{ A }\times \mathbf{ B }$不一定等于$\mathbf{ B }\times \mathbf{ A}$。

运算规则

对之前定义的矩阵运算有以下规则:

对任意的$\alpha$,$\beta$以及任意的矩阵$ \mathbf{ A},\mathbf{ B},\mathbf{ C}$,有

  1. $0\mathbf{ A} = \mathbf{ O }, 1 \mathbf{ A} = \mathbf{ A}$
  2. $\mathbf{ A} + \mathbf{ B} = \mathbf{ B} + \mathbf{ A}$
  3. $( \mathbf{ A} + \mathbf{ B} ) + \mathbf{ C} = \mathbf{ A} + (\mathbf{ B} + \mathbf{ C})$
  4. $ (\alpha \beta) \mathbf{ A} = \alpha (\beta \mathbf{A}) = \beta (\alpha \mathbf{A})$
  5. $ \alpha (\mathbf{ A} \mathbf{ B}) = (\alpha \mathbf{ A}) \mathbf{ B} = \mathbf{ A} (\alpha \mathbf{ B})$
  6. $ \mathbf{ A} \mathbf{ B} \mathbf{ C} = \mathbf{ A} (\mathbf{ B} \mathbf{ C}) = (\mathbf{ A} \mathbf{ B}) \mathbf{ C}$
  7. ${(\mathbf{ A}^{T})} ^ {T} = \mathbf{ A}$
  8. $(\mathbf{ A} + \mathbf{ B})^T = \mathbf{ A}^T + \mathbf{ B}^T$
  9. $ (\alpha \mathbf{ A})^T = \alpha \mathbf{ A}^T $
  10. $ (\mathbf{ A} \mathbf{ B})^T = \mathbf{ B}^T \mathbf{ A}^T$ , 引申有 $ (\mathbf{ A} \mathbf{ B} \mathbf{ C})^T = \mathbf{ C}^T \mathbf{ B}^T \mathbf{ A}^T $
  11. $ (\mathbf{ A} + \mathbf{ B}) \mathbf{ C} = \mathbf{ A} \mathbf{ C} + \mathbf{ B} \mathbf{ C}$
  12. $\mathbf{ A} (\mathbf{ B} + \mathbf{ C}) = \mathbf{ A} \mathbf{ B} + \mathbf{ A} \mathbf{ C}$
  13. $ (\alpha + \beta) \mathbf{ A} = \alpha \mathbf{ A} + \beta \mathbf{ A} $
  14. $ \alpha (\mathbf{ A} + \mathbf{ B}) = \alpha \mathbf{ A} + \alpha \mathbf{ B}$

在矩阵乘法中,单位矩阵和零矩阵具有类似数字乘法中’1’和’0’的作用。

对$ \mathbf{ A}_{m \times n}$,有

$ \mathbf{ I}_m \mathbf{ A} = \mathbf{ A} \mathbf{ I}_n = \mathbf{ A}$

对适当的零矩阵,有

$ \mathbf{ O} \mathbf{ A} = \mathbf{ O}$ 及 $ \mathbf{ A} \mathbf{ O} = \mathbf{ O}$


两个$n$阶上三角阵之积仍为$n$阶上三角阵

证明:

对$\mathbf{ A} = [a_{ij}] , \mathbf{ B} = [b_{ij}] , \mathbf{ C} = [c_{ij}] = \mathbf{ A} \times \mathbf{ B}$,

$c_{ij} = \sum_{k}{a_{ik}b_{kj}}$。

$k < j$时$b_{kj} = 0$ ,$k > i$时$a_{ik} = 0 $

所以$i < j$时$c_{ij} = 0$。

两个$n$阶下三角阵之积仍为$n$阶下三角阵

证明:

对下三角阵$ \mathbf{ A} , \mathbf{ B} $,令$ \mathbf{ C} = \mathbf{ A} \times \mathbf{ B} $。

$\mathbf{ C}^T = (\mathbf{ A} \times \mathbf{ B})^T = \mathbf{ B}^T \times \mathbf{ A}^T$。

由”两个$n$阶上三角阵之积仍为$n$阶上三角阵”可得$\mathbf{ C}^T$是上三角阵。

两个$n$阶对角阵之积仍为$n$阶对角阵,且有

$diag(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n) \times diag(\beta_1,\beta_2,…,\beta_n) = diag(\alpha_1 \beta_1,\alpha_2 \beta_2,…,\alpha_n \beta_n)$

证略。

可逆矩阵

对$\mathbf{ A}$若存在$\mathbf{ B}$使$\mathbf{ A} \mathbf{ B} = \mathbf{ B} \mathbf{ A} = \mathbf{ I}$,

则称$\mathbf{ A}$为可逆矩阵,$\mathbf{ B}$为$\mathbf{ A}$的逆矩阵。不存在可逆矩阵的矩阵被称为奇异矩阵

如果$\mathbf{ A}$是可逆阵,则其逆阵是唯一的。

证明:

若有$\mathbf{ B}_1 , \mathbf{ B}_2$是$\mathbf{ A}$的逆矩阵。

则$ \mathbf{ B}_1 = \mathbf{ B}_1 \mathbf{ I} = \mathbf{ B}_1 \mathbf{ A} \mathbf{ B}_2 = \mathbf{ I} \mathbf{ B}_2 = \mathbf{ B}_2$。

故$ \mathbf{ A} $的逆矩阵唯一,记作$\mathbf{ A}^{-1}$。

关于可逆阵有以下性质:

若$\mathbf{ A}$为可逆阵,则$ \mathbf{ A}^{-1} , k \mathbf{ A} , \mathbf{ A}^T$皆为可逆阵且

$(\mathbf{ A}^{-1})^{-1} = \mathbf{ A}$

$ (k \mathbf{ A})^{-1} = \frac{1}{k} \mathbf{ A}^{-1} (k \ne 0)$

$(\mathbf{ A}^T)^{-1} = (\mathbf{ A}^{-1})^T$

若$\mathbf{ A }, \mathbf{ B}$为同阶可逆阵,则$ \mathbf{ A} \mathbf{ B} $亦为可逆阵且

$(\mathbf{ A} \mathbf{ B})^{-1} = \mathbf{ B}^{-1} \mathbf{ A}^{-1}$ (推广到任意有限个矩阵亦成立。)

正交矩阵

对$\mathbf{ A}$,把满足$ \mathbf{ A} \mathbf{ A}^T = \mathbf{ A}^T \mathbf{ A} = \mathbf{ I}$的称为正交矩阵

初等旋转阵 & 初等反射阵

$ \mathbf{R} = $